Eine ausführliche Anleitung zu den griechischen Variablen des Optionshandels

Die Griechen

Die Griechen - Delta, Gamma, Theta, Vega und Rho - sind fünf Variablen, mit deren Hilfe die Risiken einer Optionsposition ermittelt werden können.

Die Risiken, denen Anleger bei Optionen ausgesetzt sind, sind nicht eindimensional. Um mit sich ändernden Marktbedingungen umgehen zu können, sollte sich ein Anleger des Ausmaßes dieser Änderungen bewusst sein. Um festzustellen, ob die Änderungen groß oder klein sind, ob sie ein großes oder ein geringes Risiko darstellen, bieten Optionslehre und Optionspreismodelle Anlegern Variablen, die die Risikomerkmale ihrer Optionsposition identifizieren. Diese Variablen werden als Griechen bezeichnet. Es gibt fünf Griechen, die wir überwachen: Delta, Gamma, Theta, Vega und Rho.

Da die Griechen Ableitungen der Black & Scholes-Formel sind, werden wir zunächst etwas mehr darüber erklären.

Black & Scholes

Die Black and Scholes-Formel, manchmal auch als Black and Scholes and Merton-Formel bekannt, ist das Marktstandardwerkzeug für Preisoptionen. Diese Formel bewertet die Option in Abhängigkeit vom aktuellen Aktienkurs S ₀, der Restlaufzeit der Option T, ihrem Streik X, der Volatilität σ und dem Zinssatz r:

call = S ⁰ N (d ₁) - Xe- ^rT N (d ₂)

put = Xe- ^rT N (-d ₂) - S ₀ N (-d ₁) mit

wobei N (x) die kumulative Normalverteilungsfunktion für die Standardnormalverteilung ist, dh die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable ~ N (0,1) (mit einer Standardnormalverteilung) kleiner als x ist.

Bevor wir die Formel diskutieren, geben wir die zugrunde liegenden Annahmen an. Die Black and Scholes-Formel geht davon aus:

Rückgaben sind IID (unabhängig und identisch verteilt) mit einer Normalverteilung.
Die zukünftige Volatilität ist bekannt und konstant.
Der zukünftige Zinssatz ist bekannt, konstant und für die Kreditaufnahme und -vergabe gleich.
Der Aktienpfad ist kontinuierlich und ein kontinuierlicher Handel ist möglich.
Transaktionskosten sind null.

Um die Theorie zu entwickeln, gehen wir davon aus, dass alle diese Annahmen zutreffen. Diese Formel ist der Marktstandard, da sie hinsichtlich Verstößen gegen ihre Annahmen äußerst robust ist.

Delta

Der erste Grieche, der diskutiert wird, ist das Delta. Grundsätzlich ist das Delta die Sensitivität des theoretischen Werts einer Option gegenüber einer Änderung des Preises des zugrunde liegenden Kontrakts. Einfacher ausgedrückt ist das Delta die Änderung des Werts einer Option, wenn der zugrunde liegende Wert um 1 Dollar steigt. Beispielsweise:

Δ _call = ∂c / ∂S = N (d ₁) und Δ _put = ∂p / ∂S = N (d ₁) - 1,

mit N (d ₁) wie in der BS-Formel.

Der Wert einer Call-Option steigt, wenn der Aktienkurs steigt, sodass das Delta einer Call-Option positiv ist. Umgekehrt sinkt der Wert einer Put-Option, wenn der Aktienkurs steigt, sodass das Delta der Put-Option negativ ist.

Man kann feststellen, dass N (x) eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist, also nimmt es einen Wert in an. Das Delta eines Anrufs ist dann immer in und das Delta eines eingehenden Anrufs. Da das zugrunde liegende Niveau normalerweise 100 Aktien beträgt, wird das Delta der Option mit 100 multipliziert. Beispielsweise wird eine Option mit einem Delta von 0,25 als Delta 25 angesehen. Je höher das Delta, desto ähnlicher wird die Änderung des Werts der Option auf die zugrunde liegende Aktie sein. Der Wert einer Option mit Delta 100 bewegt sich genau so schnell wie die zugrunde liegende Aktie. Beachten Sie auch, dass die Ableitungsoperation linear ist, sodass wir das Delta jeder Option berechnen und summieren können, um das Delta des gesamten Portfolios zu erhalten (es kann dann natürlich außerhalb liegen).

Wenn sich eine Option dem Ablauf nähert, ändert sich ihr Delta, da sich die Wahrscheinlichkeit des Auslaufens in oder aus dem Geld ändert und sich die Normalverteilung verengt und um den Mittelwert zentriert. Wenn sich eine Option dem Ablauf nähert, bewegen sich die Optionen für das Geld in Richtung Delta 100 und die Optionen für das Geld in Richtung Delta 0. Die Optionen für das Geld bleiben dagegen in der Nähe des Deltas 50.

Da sich der Kurs der zugrunde liegenden Aktie ändert, ändert sich auch das Delta. Dies ist zu erwarten, da d ₁ eine Funktion des Aktienkurses ist.

Delta eines Anrufs

Eine praktische Interpretation des Deltas ist die Sicherungsquote: Die Anzahl der Aktien, die gekauft oder verkauft werden sollten, um das Richtungsrisiko einer Option zu neutralisieren. Aus der BS-Formel können wir eine andere Interpretation sehen. Grob gesagt können wir sagen, dass das Delta einer Option ihre Wahrscheinlichkeit ist, im Geld zu verfallen. (Für einen Put nehmen wir den absoluten Wert). Diese Annäherung funktioniert jedoch nur für europäische Optionen.

Zusammenfassend gibt es drei Interpretationen von Delta:

Die Wertänderung einer Option, wenn der Basiswert um 1 Dollar steigt.
Die Sicherungsquote: Die Anzahl der Aktien, die gekauft oder verkauft werden müssen, um das Richtungsrisiko der Position zu neutralisieren.
Die Chance, dass die Option nach Ablauf im Geld ist

→ OTM-Aufrufe: Delta tendiert gegen 0, wenn wir uns dem Ablauf nähern.

→ ITM-Aufrufe: Delta tendiert im Laufe der Zeit zu 100.

Delta eines Put gegen den zugrunde liegenden Preis

Delta versus Volatilität

Wenn die Volatilität zunimmt (abnimmt), geht das Delta eines Calls in Richtung (weg von) 0,50 und das Delta eines Put in Richtung (weg von) -0,50. Wenn also die Volatilität steigt (sinkt), sinkt (steigt) das Delta einer in der Geldoption. Bei einer Out-of-the-Money-Option ist dies genau das Gegenteil.

Delta gegen Zeit

Mit abnehmender Zeit bewegt sich das Delta eines Anrufs von 0,50 und das Delta eines Put von -0,50 weg. Mit der Zeit bewegt sich das Delta eines Geldanrufs in Richtung 1 und das Delta eines Geldausstiegs in Richtung 0.

Gamma

Gamma ist die Ableitung von Delta als Funktion des Aktienkurses. Da Delta die Ableitung des Optionswerts als Funktion der zugrunde liegenden Aktie ist, ist Gamma die Änderung des Deltas, wenn der Aktienkurs um 1 Dollar steigt. Es ist wie folgt geschrieben:

Γ = δ ₂ c / δS ² = N '(d ₁) / S ₀ σ √T

mit d ₁ wie in der BS-Formel und N 'die erste Ableitung der Gaußschen kumulativen Dichtefunktion, das ist die übliche Gaußsche Dichte:

Gamma gegen Aktienkurs, Gamma gegen Zeit

Man sagt oft, dass Gamma seinen Maximalwert erreicht, wenn eine Option ATM ist. Dies ist in erster Näherung richtig, jedoch wird das reale Maximum erreicht, wenn der Aktienkurs knapp unter dem Ausübungspreis liegt. Dieser Effekt ist im linken Teil der obigen Abbildung für einen Aktienhandel bei 100 Dollar dargestellt. Bei einer Treffer X, Volatilitäts σ, eine Rate r, und eine Zeit zum Ablauf T ist der Bestandswert zu geben maximale gamma S _{max Γ} = Xe ^{- (r + 3σ ^ 2/2) T}.

Die Gammakurve eines Calls und eines Put sind identisch. Dies steht im Einklang mit dem, was wir bisher über Anrufe und Puts im Allgemeinen sowie über Gamma im Besonderen gesagt haben.

Wenn die Zeit bis zum Ablauf abnimmt, nehmen Gamma und Theta der At-the-Money-Optionen zu. Kurz vor Ablauf können diese Variablen dramatisch groß werden.

Gamma gegen Zeit

Wie die obige Abbildung zeigt, verengt sich das Diagramm, aber die Gesamtfläche unter dem Diagramm bleibt unverändert. Infolgedessen erhält der Graph eine viel höhere Spitze. Die höhere Spitze symbolisiert die Zunahme von Gamma und Theta, wenn die Zeit bis zum Ausatmen abnimmt.

Aufgrund des Verhaltens von ITM-, ATM- und OTM-Anrufen sehen wir, dass die Delta-Kurve um den Streik herum steiler wird, wenn sich das Ablaufdatum nähert. Daher steigt das Gamma für die ATM-Option im Laufe der Zeit. Dies gilt jedoch nicht für OTM- und ITM-Optionen.

Gamma ist ein wichtiger Risikoparameter, da es bestimmt, wie viel Geld wir in unserem deltaneutralen Portfolio gewinnen oder verlieren können, wenn sich der Aktienkurs ändert. Im folgenden Beispiel bewerten wir die Gewinn- und Verlustrechnung einer Optionsposition als Folge der Bewegung des Basiswerts. Wir gehen von einem konstanten Gamma von 2,7 aus, sodass sich das Delta um 2,7 pro Dollar Bewegung des Basiswerts ändert.

Angenommen, wir kaufen den 80 Call 1000 Mal bei 5,52 mit einem Aktienkurs von 79 Dollar. Um deltaneutral zu sein, sollten wir 51.100 Aktien verkaufen. Der Aktienkurs entwickelt sich wie folgt:



t =	Standard Preis
0	79
1	84
2	76
3	79

Bei t = 1 und t = 2 stelle ich meine Absicherung neu ein, um deltaneutral zu sein. Bei t = 3 schließe ich meine Position.

Drei Möglichkeiten zur Berechnung der Wertänderung einer Position

Hier sind drei Möglichkeiten, um die Wertänderung unserer Position zu berechnen: die erste unter Verwendung des Cashflows, die zweite unter Verwendung von Delta und die dritte unter Verwendung von Gamma.

1. Berechnung des Gewinns anhand des Cashflows

Wir betrachten zunächst die Cashflows, wie in der folgenden Tabelle gezeigt. Die zweite Spalte zeigt die Cashflows im Zusammenhang mit dem Call und die dritte in Bezug auf meine Aktienposition. Die letzte Zeile summiert alle:

So machen wir schließlich einen Gewinn von 132.300. Wenn wir Long-Optionen sind und daher eine Long-Gamma-Position haben, müssen wir Aktien kaufen, wenn der Aktienkurs sinkt, und Aktien verkaufen, wenn der Aktienkurs steigt (niedrig kaufen, hoch verkaufen), damit wir immer einen Gewinn erzielen, wenn sich die Aktie bewegt. Prüfen Sie selbst, ob dies sowohl für Calls als auch für Puts gilt.

2. Berechnung des Gewinns mit Delta

Wir betrachten nun einen zweiten Weg, um die Gewinne zu berechnen. Die Trades sind die gleichen, nur die Gewinnberechnung unterscheidet sich. Bei dieser Methode berücksichtigen wir gleichzeitig die Option und die Aktienposition. Wir haben die Aktie als Absicherung für die Option, betrachten wir also nur die gesamte Delta-Position. Wir starten Delta neutral. Dann bewegen sich die Aktien, wir gewinnen Deltas. (Wir berechnen die gewonnenen Deltas anhand der Differenz zwischen zwei gegebenen Deltas für die gegebenen Start- und Endwerte. Um das durchschnittliche Delta während der Bewegung zu erhalten, nehmen wir diesen Wert geteilt durch zwei). Das Portfolio gewinnt gemäß seinen unten erläuterten Deltas an Wert.

In diesem Fall verwenden wir die durchschnittliche Delta-Methode. Das heißt, wir:

Berechnen Sie die durchschnittliche Delta-Position während der Aktienbewegung.
Multiplizieren Sie dies mit dem Intervall, um den Gewinn zu berechnen.

Zum Zeitpunkt t sichern wir ab, kaufen / verkaufen Aktien, sodass das Delta wieder neutral ist.

Schauen wir uns das genauer an:

Bei t = 0, Aktienhandel 79, starten wir eine Delta-neutrale Position, dh wir haben 51.100 Aktien knapp
Bei t = 1 handelt die Aktie 84. Das Delta der Optionsposition beträgt 64,6 * 1000 (aus Optionen) -51100 (aus Aktien). Zwischen t = 0 und t = 1 stieg meine Delta-Position von 0 auf 13.500. Mein durchschnittliches Delta für den Umzug war dann (13.500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 pro Anruf). Um den PnL meiner Position zu berechnen, multipliziere ich diese Deltas mit dem Betrag der Aktienbewegung: 6570 * 5 = 33.750 Dollar. Um diesen Gewinn zu erzielen, muss ich Aktien verkaufen, um wieder deltaneutral zu sein.
Bei t = 2 handelt die Aktie 76. Das Delta meiner Optionsposition beträgt 43,0 * 1000 und das Delta meiner Aktienposition beträgt -64600…

Beispiel für die Berechnung des Gewinns mit Gamma.

3. Berechnung des Gewinns mit Gamma

Im obigen Beispiel haben wir die durchschnittliche Delta-Position berechnet, indem wir den Durchschnitt der Start-Delta-Position und der endgültigen Delta-Position genommen haben. Dies kann auch mit dem Gamma erreicht werden, da das Gamma die Änderung des Deltas pro Dollar definiert.

Lassen Sie uns klären, wie:

Bei t = 0 handelt die Aktie mit 79, Delta-neutral, Gamma beträgt 2.700.
Bei t = 1 handelt die Aktie 84. Die Aktie bewegte sich um 5, sodass meine neue Delta-Position 5 * 2.700 beträgt. Zu Beginn des Zuges war mein Delta 0, also ist mein durchschnittliches Delta 5 * 2.700 / 2. Die Aktie bewegte sich um 5, so dass das Portfolio 5 * durchschnittliches Delta = 5 * 5 * 2.700 / 2 gewann. Das Portfolio ist abgesichert, sodass das Delta wieder 0 ist. Wir nennen das "Scalping the Gamma". Eine lange Gamma-Position ermöglicht es Ihnen, niedrig zu kaufen und hoch zu verkaufen.
Bei t = 2 handelt die Aktie 76. Dies ist eine 8-Dollar-Bewegung, meine neue Delta-Position ist die 8 * 2700…

Man kann die folgende generische Formel verwenden, wenn man von einem deltaneutralen Portfolio ausgeht:

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2