Berechnung der prozentualen Änderungen der Verbindung

Ein Soroban zum schnellen Zählen

David Wilson

Was ist eine zusammengesetzte prozentuale Änderung?

Wir sind uns alle prozentualen Änderungen bewusst. Unabhängig davon, ob es sich bei den Black Friday-Verkäufen um 25% Rabatt auf die Kosten eines neuen Fernsehgeräts oder um einen (erneuten) Anstieg der Zugtarife um 5% handelt, ist es eine alltägliche Fähigkeit, einen Betrag prozentual zu ändern. Aber was ist mit prozentualen Änderungen der Verbindung?

Stellen Sie sich vor, Sie überweisen 100 GBP auf ein Sparkonto mit einem festen Zinssatz von 4%, der jährlich ausgezahlt wird. Am Ende des Jahres (vorausgesetzt, Sie haben die ursprüngliche Einzahlung nicht berührt) hat sich Ihr Geld um 4% erhöht, sodass Sie zusätzlich 4 £ und insgesamt 104 £ auf dem Konto haben.

Was passiert dann, wenn Sie das ganze Geld für ein weiteres Jahr auf dem Konto belassen? Erhalten Sie weitere £ 4 und insgesamt £ 108 auf der Bank? Nein. Für das zweite Jahr erhalten Sie nicht nur 4% auf Ihre ursprünglichen 100 £, die noch auf der Bank sind, sondern auch 4% auf die zusätzlichen 4 £, die Sie durch Zinsen im Vorjahr verdient haben. 4% von £ 104 sind £ 4,16, was bedeutet, dass Sie am Ende des zweiten Jahres £ 104 + £ 4,16 = £ 108,16 auf Ihrem Konto haben. Angenommen, Sie berühren das Geld zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht und der Zinssatz von 4% bleibt konstant, verdienen Sie jedes Jahr mehr Geld, wenn der Betrag auf Ihrem Konto steigt. Dies ist Zinseszins.

Hinweis: Wenn Sie nur die £ 4 pro Jahr erhalten haben, wird dies als einfaches Interesse bezeichnet.

Wie berechnet man das prozentuale Wachstum der Verbindung?

Schauen wir uns an, wie das prozentuale Zinswachstum berechnet wird (auch als Zinseszins bekannt, wenn es um Beispiele wie das unsere geht).

Nach wie vor beginnen Sie mit 100 £ auf dem Bankkonto und einem festen Zinssatz von 4%. Wir könnten 4% finden, indem wir die £ 100 durch 100 teilen, um 1% zu erhalten, und diese dann mit 4 multiplizieren. Dies ist großartig für ein Jahr, aber wenn wir herausfinden wollten, wie viel wir auf dem Konto 5 oder haben werden 10 Jahre später wird es lange dauern.

Stattdessen werden wir die sogenannte Multiplikatormethode verwenden. Wenn wir unsere ursprüngliche Einzahlung zu 100% anrufen, werden wir nach einer Erhöhung um 4% 104% erhalten. Um 104% eines Betrags zu berechnen, wandeln wir zuerst den Prozentsatz in eine Dezimalzahl um, indem wir durch 100 dividieren, was 104/100 = 1,04 ergibt. Durch Multiplizieren mit 1,04 wird ein Betrag auf einmal um 4% erhöht.

In unserem Beispiel haben wir zunächst 100 £, also haben wir nach einem Jahr 100 £ x 1,04 = 104 £. Nach einem weiteren Jahr haben wir £ 104 x 1,04 = £ 108,16, dann £ 108,16 x 1,04 = £ 112,49 und so weiter. Wir können es jedoch noch weiter beschleunigen.

Wir multiplizieren einmal pro Jahr mit demselben Multiplikator, 1,04. Wenn wir also die Summe einige Jahre später ermitteln möchten, können wir mit Potenzen so oft mit 1,04 multiplizieren.

Zum Beispiel werden wir nach 5 Jahren 100 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04 £ haben, was 100 x 1,04 £ ⁵ = 121,67 £ entspricht.

Nach 25 Jahren hätten wir £ 100 x 1,04 ²⁵ = £ 266,58. Stellen Sie sich vor, wie lange das gedauert hätte, wenn wir 4% für jedes Jahr separat berechnet hätten!

Ein weiteres Beispiel für das prozentuale Wachstum der Verbindung

Versuchen wir ein anderes Beispiel für das prozentuale Wachstum der Verbindung.

Die Bevölkerung einer Stadt wächst jedes Jahr um 12%. Wenn es bei 30 000 Menschen beginnt und dieser Anstieg konstant bleibt, wie wird die Bevölkerung in 6 Jahren sein? Was ist in 20 Jahren?

Wir beginnen also mit 100% und wollen eine Erhöhung um 12%. Daher erhalten wir 112%, was 1,12 als Dezimalzahl entspricht.

Daher wird die Bevölkerung nach 6 Jahren 30 000 x 1,12 ⁶ = 59 215 sein.

Nach 20 Jahren sind es 30 000 x 1,12 ²⁰ = 289 389.

Was ist mit dem prozentualen Rückgang der Verbindung?

Eine prozentuale Abnahme der Verbindung (auch als Zerfall der Verbindung bekannt) liegt vor, wenn eine Menge mehrmals um denselben Prozentsatz abnimmt. Die Methode, um dies zu finden, ist der Suche nach einer Erhöhung sehr ähnlich.

Angenommen, Sie haben ein Auto für 20.000 Pfund gekauft und jedes Jahr sinkt der Wert des Autos um 15%. Wir wollen herausfinden, wie viel das Auto in fünf Jahren wert sein wird.

Wir könnten 15% von £ 20 000 finden, dies abziehen, dann 15% des neuen Betrags finden und so weiter, aber auch dies wird eine Weile dauern. Schauen wir uns stattdessen die Verwendung von Multiplikatoren an, wie wir es oben getan haben.

Wenn wir bei 100% beginnen, erhalten wir bei einer Reduzierung um 15% 85%. Anstatt dies als einen Rückgang von 15% pro Jahr zu betrachten, können wir uns stattdessen einen Rückgang von 85% vorstellen. 85% als Dezimalzahl ist 85/100 = 0,85. Um 85% zu finden, multiplizieren wir mit 0,85. Um dies mehrmals zu tun, verwenden wir Kräfte wie oben.

Zurück zu unserem Autobeispiel: Nach 5 Jahren beträgt der Wert 20 000 x 0,85 ⁵ = 8 874,11 £.

Nach 10 Jahren beträgt der Wert £ 20 000 x 0,85 ¹⁰ = £ 3 937,49.

Schauen Sie sich das Video unten für weitere Beispiele an.

Zinseszins auf dem YouTube-Kanal von DoingMaths

© 2020 David